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编号6452
Point0
提问者: Guest
难度: 高一
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标题n个平面最多将空间分成几部分
内容

如上


求完整解答过程

14791 X Re:n个平面最多将空间分成几部分
1 admin 编辑 Tag
评分人数:0
显然,当这n个平面满足以下条件时,所分割的部分数是最多的。
1、 这n个平面两两相交;
2、 没有三个以上的平面交于一点;
3、 这n个平面的交线任两条都不平行。
对于一般情况一下子不易考虑,我们不妨试着从简单的,特殊的情况入手来寻找规律。设n个
平面分空间的部分数为 an,易知
当n=1时,an=2 ;
当n=2时,an=4
当n=3时,an=8
当n=4 时,情况有些复杂,我们以一个四面体为模型来观察,可知an=15 ;
从以上几种情况,很难找出一个一般性的规律,而且当n的值继续增大时,情况更复杂,看来这样不行。那么,我们把问题在进一步简单化,将空间问题退化到平面问题:n条直线最多可将平面分割成多少个部分?(这n条直线中,任两条不平行,任三条不交于同一点),设n条直线最多可将平面分割成 bn个部分,那么
当n=1,2,3时,易知平面最多被分为2,4,7个部分。
当n=k 时,设 k条直线将平面分成了 bk个部分,接着当添加上第k+1 条直线时,这条直线与前k 条直线相交有 k个交点,这 k个交点将第 k+1条直线分割成k段,而每一段将它所在的区域一分为二,从而增加了K+1 个区域,故得递推关系式
b(k+1)=b(k)+(k+1) ,即 b(k+1)-b(k)=k+1
显然当k=1 时, b(1) =2,当k=1,2,3.....n-1 时,我们得到 个式子:
b(2)-b(1)=2;
b(3)-b(2)=3;
b(4)-b(3)=4;
b(5)-b(4)=5;
……
b(n)-b(n-1)=n;
将这 n-1个式子相加,得 b(n)=1/2*(n^2+n+2),即n条直线最多可将平面分割成1/2*(n^2+n+2) 个部分。
我们来归纳一下解决这个问题的思路:从简单情形入手,确定b(k) 与b(k+1)的递推关系,最后得出结论。
现在,我们回到原问题,用刚才的思路来解决空间的问题,设k个平面将空间分割成a(k)个部分,再添加上第k+1个平面,这个平面与前k个平面相交有k条交线,这k条交线,任意三条不共点,任意两条不平行,因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成b(k)个部分。
而这b(k)个部分平面中的每一个,都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以,添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了b(k)个部分。由此的递推关系式
a(k+1)=a(k)+b(k), 即 a(k-1)-a(k)=b(k)
当k=1,2,3........n-1时,我们得到如下n-1个关系式
a(2)-a(1)=b(1);
a(3)-a(2)=b(2);
……
a(n)-a(n-1)=b(n-1);
将这n-1个式子相加,得
a(n)=a(1)+(b(1)+b(2)+b(3)+.......+b(n-1))
因为 b(n)= 1/2*(n^2+n+2),a(1)=2
所以 a(n)=2+{1/2*(1^2+1+2)+(2^2+2+2)+(3^2+3+2)+........+((n-1^2)+(n-1)+2)}
=(n^3+5*n+6)/6
问题的解:由上述分析和推导可知,n个平面最多可将平面分割成 =(n^3+5*n+6)/6
个部分。