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编号14876
Point0
提问者: Guest
难度: 高三
标签:
标注: 49.116.228.71
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标题导数运算及其应用
内容已知函数f(x)=ax+lnx/b(1)若当x=2时函数取得极小值2-2ln2求a,b的值(2)当b=-1时,是否存在实数a,使得函数(0,e]上的最小值等于2?若存在,求出实数a的值,若不存在,说明原因
14942 X Re:导数运算及其应用
7984 李碧松 编辑 Tag
评分人数:1
(1) 首先,函数取得最小值也是函数值,所以有f(2)=2a+ln2/b=2-2ln2。
又最小值处的函数导数应该为0,即f'(2)=0。
f'(x)=a+1/(bx),所以a+1/(2b)=0。
由2a+ln2/b=2-2ln2及a+1/(2b)=0解得,a=1,b=-1/2。
(2)当b=-1时,f(x)=ax-lnx。f'(x)=a-1/x,由f'(x)=0解得x=1/a。
当a<=0时,在(0,e]上f'(x)<0,函数f(x)在(0,e]上是减函数,最小值为f(e)=ae-1=2-->a=3/e>0不合。
当a>0时,如果0<1/a<=e,则函数f(x)在x=1/a处取得极小值(也是最小值)。
由f(1/a)=1+lna=2-->lna=1-->a=e。
若1/a>e,则函数在x=e处取得最小值。
由f(e)=ae-1=2-->ae=3--1/a=e/3e矛盾。
综上所述,存在实数a=e符合条件。