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编号10083
Point0
提问者: Guest
难度: 大四
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标注: 58.61.55.201
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标题勾股弦数问题闲聊
内容勾股弦数是满足勾股定理的三元正整数组。利用罗士琳公式,可将所有的勾股弦数归纳表示在一个公式中:设(A,B,C)=(勾,股,弦)则有
(m>n>0;m ,n奇偶各异且互质;k为自然数) (1–1)
当k = 1时,上式变为:
此时, , 即勾、股、弦互质。
由(1–1)式可得: 及 (1–2)
公式(1–2)即勾股弦数的判定法则,它展示了弦与勾股之间的特定关系。
为研究和表达方便,本文特作以下规定和说明:
1).本文把勾、股、弦互质的勾股弦数称为质解,如(36,77,85);把含公因子k(k为≥2的整数)的勾股弦数称为子解,如(104,195,221),为含有公因子k=13的子解;该子解扣除公因子后余下的(8,15,17)部分叫做该子解的质解核。
2).为表达和研究方便,本文在勾和股之间,不作谁奇谁偶,谁前谁后,谁大谁小的限定。例如:(13,84,85)与(84,13,85)均为正确的表达方式。
3).为表达和研究方便,本文对具体的勾股弦数往往采用横式表示,如(21,220,221);对 勾股弦数公式,虽有时也用横式表示, 但通常用竖式表示,如公式(1–1)。
4).本文在上标、下标、公因子等处,凡涉及其取值为自然数的,除特别说明外,该自然数均不包括0。
5).在推导某些特殊的勾股弦数公式时,会对(m,n)的取值放宽限制,即允许m、n出现不互质和同奇同偶情况。
问题一
(1)4t+1型质数或质因子团可以作勾股弦数的弦,非4t+1型质数或质因子团不能作勾股弦数的弦(这是4t+1型质数与非4t+1型质数最本质的区别)。勾股弦数质解的弦只含有4t+1型质数或质因子团;若某勾股弦数的弦含有非4t+1型质数或质因子团,则此勾股弦数必为子解。
请证明: 均无整数解。
(2)绝大多数的勾股弦数都含有重复数字,如勾股弦数(44,240,244),数字2重复了2次,数字4重复了5次。
请计算:勾股弦数等式 。
(注:7ab表示百、十、个位数字分别为7、a、b的三位数。其余类推。)
没有重复数字的勾股弦数是非常罕见的,除(3,4,5)、(6,8,10)、(18,24,30)外,你还能举出几种?
(3)勾、股、弦均为两位数的勾股弦数质解有多少种?请举出5种。