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柯西-施瓦茨不等式







介绍

  上,柯西-施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式,是一条很多场合都用得上的;例如和乘积的,和。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广,如
不等式以(Augustin Louis Cauchy),(Hermann Amandus Schwarz),和(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

定义

  柯西-施瓦茨不等式叙述,对于一个所有向量xy

$\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$。
其中$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示,也叫点积。等价地,将两边开方,引用向量的,不等式可写为
$ |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\, $
另外,等式成立当且仅当xy(或者在几何上,它们是的,或其中一个向量的模为0)。
若$x_1,\ldots, x_n\in\mathbb C$和$y_1,\ldots, y_n\in\mathbb C$有虚部,内积即为标准内积,用拔标记共轭复数那么这个不等式可以更明确的表述为
$|x_1 \bar{y}_1 + \cdots + x_n \bar{y}_n|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).$
柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果,是内积为,甚至是满足1阶的函数。